ω . = ∧ = {\displaystyle \,{\vec {p}}\;(=m\,{\vec {v}})} On peut définir un moment cinétique par rapport à chaque point A du solide. r {\displaystyle {\vec {F}}} ) Le torseur cinétique est un outil mathématique utilisé en mécanique du solide, notamment pour calculer l'énergie cinétique d'un système et appliquer le principe fondamental de la dynamique. par rapport au point O, c'est-à-dire le produit vectoriel : Le moment cinétique d'un système matériel est la somme des moments cinétiques (par rapport au même point O) des points matériels constituant le système[1] : Cette grandeur, considérée dans un référentiel galiléen, dépend du choix de l'origine O, par suite, il n'est pas possible de combiner en général des moments angulaires ayant des origines différentes. δ https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Torseur_cinétique&oldid=163040135, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. M p → On notera que. → , Interprétation physique : le théorème du moment cinétique est similaire dans sa forme à la relation fondamentale de la dynamique. L v ∧ ⊗ → → R p En faisant correspondre à la vitesse angulaire → O . ˙ p sont colinéaires. H du vecteur moment cinétique ne recouvre pas une réalité physique mais est une convention ; c'est un vecteur axial. Le moment cinétique est donc le moment de cette dernière par rapport à O. Il dépend bien sûr du point O ainsi que du référentiel d'étude. L ) θ p Théorèmes de la résultante, du moment dynamique, du moment cinétique… Ces théorèmes sont parfois formulés, mais ne méritent pas d’être cités ici. Compte tenu du fait que Intuitivement, le théorème du moment cinétique est une sorte d'équivalent de la relation fondamentale de la dynamique pour ce qui est de la rotation du point M par rapport à O. Toutefois, c'est dans le formalisme de la mécanique analytique que la relation étroite entre moment cinétique et rotations spatiales devient nettement plus claire. La conservation du moment cinétique par rapport au centre de force O peut s'interpréter physiquement par le fait que non seulement la trajectoire est plane mais également que le vecteur position du point matériel "balaie des aires égales en des temps égaux", autrement dit que le mouvement vérifie la loi des aires, mis en évidence par Kepler en 1609 dans le cas du mouvement des planètes (cf. i eff i − {\displaystyle {\vec {r}}} r : qui peut aussi s'écrire sous la forme intrinsèque: avec 2 ) p → et = S A i ( → ( Si C est le centre d'inertie du système, et M la masse totale de celui-ci, alors il est possible de montrer que pour tout système matériel: L {\displaystyle {\vec {L}}^{*}} , r L Elle est définie par (voir démonstration ci-dessus) : Elle s'exprime en kg⋅m⋅s−1. 2 L x La dernière modification de cette page a été faite le 7 juin 2020 à 07:28. A {\displaystyle L_{x},L_{y},L_{z}} ( {\displaystyle {\dot {\theta }}} ϕ r v ; L En explicitant ces dernières, il vient aussitôt : où du moment cinétique, en posant r i , et donc est correspond à l’énergie cinétique radiale. Ainsi si toute force dérivant d'un potentiel scalaire dépendant uniquement de la distance r à l'origine est centrale, une force non conservative a priori comme la tension du fil d'un pendule simple, qui pointe à tout instant vers le point de fixation du pendule, sera également considérée comme une force centrale avec cette définition[9]. 2 r F r {\displaystyle {\vec {r}}} → r c L z {\displaystyle L\equiv mr^{2}{\dot {\theta }}} L On peut définir en tout point M du solide le vecteur vitesse → r (réelles ou d'inertie) exercées sur le corps. En effet. Ses éléments diagonaux sont constitués des moments d'inertie du solide par rapport aux axes (Ox), (Oy) et (Oz) respectivement, et ses éléments non diagonaux sont égaux à l'opposé des moments d'inertie par rapport aux plans (xOy), (xOz) et (yOz). = {\displaystyle {\vec {p}}(\mathrm {S/R} )} r → Cours, Exercices corrigés, Examens - AlloSchool, Votre école sur internet Par suite, le moment cinétique propre C t L The angular momentum of an isolated system remains constant in both magnitude and direction. ≡ i Pour un point matériel, la variation temporelle du moment cinétique est donnée par la somme des moments des forces appliquées à ce point. ) σ nécessaire] d'un point matériel M par rapport à un point O est le moment de la quantité de mouvement Energy, in physics, the capacity for doing work. → {\displaystyle {\vec {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})} → Par ailleurs en procédant toujours en coordonnées cartésiennes, et compte tenu du fait que et [6]. ) p v (l'indice "0" désigne les valeurs initiales des grandeurs). θ Explore journal content Latest issue Article collections All issues. = On note alors, Le vecteur moment cinétique peut aussi s'écrire. i 973–1058 (December 2001) Volume 333, Issue 10. {\displaystyle {\vec {F}}} L ( coïncident avec les quantités de mouvement des différents points matériels Mi[8]. k {\displaystyle {\vec {L_{O}}}={\vec {r}}\wedge {\vec {p}}={\vec {cte}}} M {\displaystyle O} La nature des mouvements possibles dépend alors du potentiel V(r) ainsi que de l'énergie mécanique totale du point matériel. → ˙ p ) de ce qui est lié à un éventuel caractère conservatif, donc le fait que l'énergie mécanique du point matériel est conservée. → eff 203-383), on Érudit. ( → → Le lien entre moment angulaire et rotation est encore plus net en mécanique analytique et surtout en mécanique quantique (cf. F L ω ω → ˙ Learn more about energy in this article. , dit vecteur rotation, le moment cinétique s'écrit finalement dans ce cas : Dans le cas d'un solide, le moment cinétique et le vecteur rotation instantanée ne sont en général pas colinéaires, la relation entre C i ( par rapport au point O supposé fixe dans le référentiel[3]. 0 Il existe une résultante, le champ est donc équiprojectif. Par suite le taux de variation de cette aire balayée, appelé vitesse aréolaire ( , ∑ (= constante), l'aire élémentaire , appelé moment cinétique du système par rapport à l'origine O, soit une constante du mouvement. de tout système isolé de n points matériels soit invariante par toute rotation globale du système autour de l'origine O (arbitraire). = r ( En général les trajectoires obtenues pour une énergie potentielle V(r) quelconque ne sont pas des courbes fermées : seuls le potentiel coulombien attractif → O Le sens De façon plus rigoureuse, il faut considérer un axe Δ, De façon simple, ce vecteur traduit la rotation d'un système de coordonnées rigidement lié au solide par rapport à. Cette relation est directement liée au fait que la distance entre deux points matériel quelconque est supposée invariante. i + Aussi une force sera considérée comme centrale si à tout instant sa direction passe par un point fixe O, qu'elle soit ou non conservative. sous la forme 2 SCIENCES INDUSTRIELLES POUR L’INGÉNIEUR Filière MP Concours Centrale-Supélec 2009 3/16 mouvements, l'axe de prise de vue latéral doit toujours passer par l'iso-centre qui est le lieu de la pathologie à observer. d = ) Canada / Québec / Secondaire / Science et technologie / Physique - Programme optionnel de 5e secondaire / Cinématique {\displaystyle {\vec {e}}_{r}} ∗ ( {\displaystyle {\vec {p}}=m\,{\vec {v}}} Il est donc possible de séparer le mouvement du centre d'inertie du mouvement propre du système. r → C C → #− [()=()(+)=(+)()=(+ (5) (+ +) (6) [()]()=(+ + " [()]()()+! " Par suite . = {\displaystyle {\overrightarrow {L_{\mathrm {O} }}}} → Il s'agit d'un tenseur symétrique. F Dans le domaine relativiste, il n'est pas possible de considérer les coordonnées d'espace indépendamment du temps, et aux vecteurs position {\displaystyle {\vec {L}}^{*}} En particulier il est possible de démontrer que l'accélération du point matériel se met alors sous la forme : Bien entendu, cette formule montre bien que l'accélération est dirigée vers le centre de force, puisque la force l'est, comme le prévoit la relation fondamentale de la dynamique. r du point matériel le vecteur axial t {\displaystyle X^{\alpha }} v { i où [IA(S)] est la matrice d'inertie (ou opérateur d'inertie) de S par rapport au point A, et = ( ¯ {\displaystyle {\vec {\omega }}} → , avec m ( 2 Moment Cinetique, Sheffield. {\displaystyle {\vec {L_{O}}}} Si cette dernière relie forces appliquées au point matériel et variation de sa quantité de mouvement, le théorème du moment cinétique relie la somme des moments de ces forces par rapport à un point donné et variation du moment cinétique par rapport à ce même point. On utilise le principe d'entropie minimum développé dans [6] pour l'équation de Boltzmann BGK pour construire une nouvelle méthode aux moments. ω H Le tenseur d'inertie est une caractéristique propre du solide (S), et donne la répartition des masses en son sein. ) ( O {\displaystyle {\vec {L}}^{*}={\vec {L}}_{C}} {\displaystyle C=r^{2}{\dot {\theta }}} ( U → Si là encore la séparation radiale-angulaire de l'énergie cinétique est uniquement la conséquence du caractère central de la force et ne nécessite nullement que celle-ci soit conservative, elle a une importance particulière dans ce dernier cas, car il est alors possible de se ramener à un mouvement unidimensionnel. i → → {\displaystyle {\vec {r}}={\overrightarrow {OM}}} 2 θ = α v O Cette dernière est égale à la moitié du comoment du torseur cinétique par le torseur cinématique. ∧ ∧ d t → e mécanique du solide applications industrielles mécanique du solide indéformable ... moment cinétique, solide en rotation / III-1 moment d'une force par rapport à un point - Duration: 8:38. Actualité des Sciences Industrielles de l'Ingénieur. → → Cette propriété est en particulier valable pour un système dit isolé, c'est-à-dire qui n'est soumis à aucune action extérieure. p → M e ∧ {\displaystyle V=V(r)} {\displaystyle H\left({\vec {r}}_{1},\ldots ,{\vec {r}}_{n};{\vec {p}}_{1},\ldots ,{\vec {p}}_{n}\right)} est bien identique à la définition donnée plus haut. où G désigne le centre d'inertie et m la masse totale du solide S. Comme tous les torseurs, le torseur cinétique peut être représenté par des éléments de réduction en un point, c'est-à-dire par la donnée du vecteur résultante et d'une valeur du moment cinétique en un point A particulier. dont la direction passe par un point fixe dans (R), appelé centre de force, donc en posant V → p } θ A nécessaire] d'un point matériel M par rapport à un point O est le moment de la quantité de mouvement → par rapport au point O, c'est-à-dire le produit vectoriel : → = → ∧ →. ( (9) # 1− [}{} ()=()(+)=(+)()=(+ ((+ +) (6 {\displaystyle {\vec {L_{O}}}={\vec {r_{0}}}\wedge {\vec {p_{0}}}} → → {\displaystyle {\vec {p}}} est toujours colinéraire à y {\displaystyle \sum _{i}{\overrightarrow {{\mathcal {M}}_{\mathrm {O} }}}\left({\overrightarrow {F_{i}}}\right)} It may exist in potential, kinetic, thermal, electrical, chemical, nuclear, or various other forms. En revanche, pour un point O en dehors de la trajectoire, du point de vue duquel la direction de O v ) L Cours, Exercices corrigés, Examens - AlloSchool, Votre école sur internet Physiquement, le théorème de König exprime le fait que pour un système matériel, le moment cinétique par rapport à un point est la somme de celui du centre d'inertie, affecté de la masse totale du système, et du moment cinétique propre du système. ∑ i , énergie potentielle effective. , il vient pour les différentes composantes de = = Par ailleurs, le fait que r , le moment cinétique (ou angulaire) E avec α = 0,1,2,3, il est possible de définir un (quadri)tenseur contravariant antisymétrique du second ordre ω X On peut alors éliminer {\displaystyle {\vec {C}}} {\displaystyle {\dot {\theta }}} F → Ce champ est équiprojectif : c'est donc un torseur, appelé torseur cinétique (à ne pas confondre avec le torseur cinématique ). , résultante des forces appliquées au point matériel Mi, il est possible de déduire le théorème du moment cinétique : La conservation du moment cinétique par rapport à un point O est donc directement liée à l'invariance par rotation du hamiltonien (ou du Lagrangien) du système: c'est en particulier le cas pour un système non isolé mais soumis à un champ extérieur possédant une invariance par rotation autour de O. Ce type de champ très important en physique est un champ à force centrale, de centre de force O : son mouvement est alors caractérisé par la conservation du moment cinétique du système par rapport à O. Herbert Goldstein, Charles P. Poole Jr. et John L. Safko, Une vidéo explicative sur la conservation du moment cinétique, Une autre vidéo illustrant la conservation du moment cinétique, Liens vers diverses vidéos illustrant la notion de moment cinétique et sa conservation, https://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Moment_cinétique&oldid=171752223, Catégorie Commons avec lien local identique sur Wikidata, licence Creative Commons attribution, partage dans les mêmes conditions, comment citer les auteurs et mentionner la licence. x La résultante du torseur est appelée quantité de mouvement et notée ( M → t L I {\displaystyle {\overrightarrow {L_{\mathrm {O} }}}=\sum _{i}{\overrightarrow {\mathrm {OM} _{i}}}\wedge {\vec {p_{i}}}\quad } {\displaystyle {\vec {L}}_{O}\equiv \sum _{i=1}^{n}{\vec {r}}_{i}\wedge {\vec {p}}_{i}} {\displaystyle {\vec {L_{O}}}=L{\vec {e_{z}}}} [5]. Cette grandeur (appelée en anglais torque) correspond donc à la variation du moment cinétique en O qu'engendre l'action de la force Cte θ δ ˙ O